Całka wielokrotna

Całka wielokrotna stopnia $n$ – całka po $n$ zmiennych z funkcji $n$ zmiennych:

$\iiint \limits _{\Omega }\ldots \int f(x_{1},x_{2},x_{3},\dots x_{n})\;dx_{1}\;dx_{2}\;dx_{3}\ldots \;dx_{n}.$

Szczególne przypadki całki wielokrotnej, to:

• całka podwójna

$\iint \limits _{D}f(x,y)\;dx\;dy;$

• całka potrójna

$\iiint \limits _{V}f(x,y,z)\;dx\;dy\;dz.$

Całka potrójna

Całka ta ma interpretację masy zawartej w bryle o gęstości $\rho =f(x,y,z).$

Zamiana na całkę iterowaną

Jeżeli $V$ jest odpowiednim obszarem normalnym $V=\{a\leqslant x\leqslant b;\ g(x)\leqslant y\leqslant h(x);\ p(x,y)\leqslant z\leqslant q(x,y)\},$ to

$\iiint \limits _{V}f(x,y,z)\;dx\;dy\;dz=\int \limits _{a}^{b}{\bigg (}\int \limits _{g(x)}^{h(x)}{\bigg (}\int \limits _{p(x,y)}^{q(x,y)}f(x,y,z)\;dz{\bigg )}\;dy{\bigg )}\;dx\;{\overset {\underset {\mathrm {ozn} }{}}{=}}\int \limits _{a}^{b}dx\int \limits _{g(x)}^{h(x)}dy\int \limits _{p(x,y)}^{q(x,y)}f(x,y,z)\;dz.$

Jeżeli $V=\{(x,y)\in D;\ p(x,y)\leqslant z\leqslant q(x,y)\},$ to

$\iiint \limits _{V}f(x,y,z)\;dx\;dy\;dz=\iint \limits _{D}{\bigg (}\int \limits _{p(x,y)}^{q(x,y)}f(x,y,z)\;dz{\bigg )}\;dx\;dy.$

Analogicznie zamieniamy na całkę iterowaną inne całki po obszarze normalnym. Taka zamiana jest szczególnie prosta w przypadku całkowania po prostopadłościanie. Jeżeli obszar $V$ nie jest obszarem normalnym, dzielimy go na obszary normalne.

Zamiana zmiennych

Niech obszar regularny domknięty $D$ jest obrazem obszaru regularnego domkniętego $\Omega$ w przekształceniu

$\Phi =\{x=x(u,v,w),\ y=y(u,v,w),\ z=z(u,v,w)\},$

które jest klasy C¹ w pewnym obszarze zawierającym obszar $\Omega$ oraz

którego jakobian $J={\frac {D(x,y,z)}{D(u,v,w)}}={\begin{vmatrix}x'_{u}&x'_{v}&x'_{w}\\y'_{u}&y'_{v}&y'_{w}\\z'_{u}&z'_{v}&z'_{w}\end{vmatrix}}$ jest różny od zera wewnątrz $\Omega .$

Ponadto niech $f$ jest dowolną funkcją ciągłą w $D.$ Wtedy

$\iiint \limits _{D}f(x,y,z)\;dx\;dy\;dz=\iiint \limits _{\Omega }f(x(u,v,w),\ y(u,v,w),\ z(u,v,w))|J|\;du\;dv\;dw.$

Uwaga. $|J|$ oznacza wartość bezwzględną jakobianu, zaś $x'_{u}={\frac {\partial x}{\partial u}}$ oznacza pochodną cząstkową i analogiczne znaczenia mają wszystkie inne litery ze wskaźnikami dolnymi.

Linki zewnętrzne

• Multiple integral (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].