Całki eliptyczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Całki eliptyczne – ważna klasa całek postaci[1]:

(1)

gdzie jest funkcją wymierną zmiennych i (tj. jest w postaci ilorazu dwóch wielomianów zmiennych i ), a jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych stopnia 3 lub 4, tj. a ponadto ma pierwiastki jednokrotne.

Całki eliptyczne pojawiają się przy rozwiązywania problemu obliczenia długości łuku elipsy. Stąd wzięły swoją nazwę. W ścisłym znaczeniu nazwa ta dotyczy tylko tych całek postaci (1), których nie dają się wyrazić za pomocą funkcji elementarnych. Całki tej postaci nazywa się pseudoeliptycznymi, jeżeli da się je sprowadzić do funkcji elementarnych. Jest tak, gdy wielomian ma powtarzające się pierwiastki oraz nie zawiera nieparzystych potęg

Rodzaje całek eliptycznych[edytuj | edytuj kod]

Dowodzi się, że każdą całkę eliptyczną można sprowadzić do sumy całek w postaci elementarnej (która zawiera całki po funkcjach wymiernych) oraz całek nie wyrażających się przez funkcje elementarne, mających trzy możliwe postacie:

  • – dowolna liczba rzeczywista

Liouville dowiódł, że powyższych całek nie da wyrazić się za pomocą funkcji elementarnych.

Legendre zastosował podstawienie dzięki czemu całki te uprościły swoją postać do całek, które nazywamy odpowiednio całką eliptyczną pierwszego, drugiego i trzeciego rodzaju w postaci Legendre’a, tj.

  • całka eliptyczna 1 rodzaju,
  • całka eliptyczna 2 rodzaju,
  • całka eliptyczna 3 rodzaju.

Szczególnie ważne i często używane są pierwsze dwie.

Całki eliptyczne oznaczone[edytuj | edytuj kod]

Całki eliptyczne niezupełne[edytuj | edytuj kod]

Powyższe całki eliptyczne 1, 2 i 3 rodzaju traktowane jako całki oznaczone w granicach od 0 do oznacza się za Legendre odpowiednio

  • całka eliptyczna niezupełna 1 rodzaju,
  • całka eliptyczna niezupełna 2 rodzaju,
  • całka eliptyczna niezupełna 3 rodzaju.

Parametr występujący w funkcjach nazywany jest modułem. Parametr całki nazywany jest charakterystyką – może przyjmować dowolne wartości niezależnie od innych parametrów.

Całki eliptyczne zupełne[edytuj | edytuj kod]

Wykres wartości całki eliptycznej zupełnej 1 rodzaju w zależności od wartości
Wykres wartości całki eliptycznej zupełnej 2 rodzaju w zależności od wartości
Wykresy wartości całek eliptycznych zupełnych 3 rodzaju w zależności od dla kilku ustalonych wartości parametru

Całki eliptyczne zupełne są szczególnym przypadkiem całek niezupełnych oraz – oblicza się je podstawiając tj.

  • całka eliptyczna zupełna 1 rodzaju,
  • całka eliptyczna zupełna 2 rodzaju,
  • całka eliptyczna zupełna 3 rodzaju

Czasami jednak całki 3 rodzaju definiuje się z odwrotnym znakiem stojącym przed parametrem

Wartości całek eliptycznych. Monotoniczność[edytuj | edytuj kod]

Wartości całek eliptycznych niezupełnych oraz można obliczyć numerycznie. Dostępne są też kalkulatory online (por. Linki zewnętrzne – na końcu artykułu).

Wartości całek eliptycznych zupełnych oraz są stabelaryzowane (por. Tabela całek niżej); można je też znaleźć w niektórych tablicach matematycznych. Dostępne są też kalkulatory online (por. Linki zewnętrzne – na końcu artykułu).

Z wykresów wartości całek przedstawionych tutaj widać, że całka zupełna 1 rodzaju rośnie ze wzrostem dla ma wartość około dla rozbiega się do nieskończoności. Całka eliptyczna 2 rodzaju maleje od wartości około dla do wartości dla Monotoniczność tych całek wynika wprost z zależności funkcji podcałkowych od parametru dla całki funkcja podcałkowa rośnie ze wzrostem a dla całki funkcja podcałkowa maleje ze wzrostem

Całka zupełna 3 rodzaju a) dla rośnie ze wzrostem dla i maleje ze wzrostem dla b) dla rozbiega się do nieskończoności dla wszystkich wartości

Zastosowania całek eliptycznych[edytuj | edytuj kod]

Całka eliptyczna 1 rodzaju[edytuj | edytuj kod]

Obliczanie okresu drgań wahadła[edytuj | edytuj kod]

Okres drgań wahadła matematycznego zadany jest przez całkę eliptyczną zupełną 1 rodzaju wzorem[2]:

gdzie – długość wahadła, – maksymalny kąt odchylenia wahadła od pionu, przyspieszenie ziemskie.

Z wartości całki wynika (por. Tabela całek niżej), że dla małych amplitud drgań co daje wynik – okres drgań nie zależy od amplitudy (izochronizm odkryty przez Galileusza). Jednak ze wzrostem amplitudy okres drgań rośnie. Np. dla mamy (por. Tabela całek niżej) oraz Zaś dla (wahadło wznosi się do pionu) mamy stąd – wahadło wznosi się od najniższego położenia do pionu nieskończenie długo (tzw. ruch pełzający)[3].

Całka eliptyczna 2 rodzaju[edytuj | edytuj kod]

Obwód elipsy[edytuj | edytuj kod]

Obwód elipsy o półosiach zadany jest przez całkę eliptyczną zupełną 2 rodzaju wzorem[4]

gdzie mimośród elipsy.

Np. dla oraz mimośród wynosi Aby skorzystać z Tabeli całek (por. niżej) obliczamy kąt przy czym co daje z tabeli odczytujemy co daje obwód elipsy równy

Łuk elipsy[edytuj | edytuj kod]

(a) Łuk elipsy o półosiach ograniczony kątami mierzonymi od osi do punktów początkowego i końcowego łuku elipsy, jest zadany przez różnicę całek eliptycznych niezupełnych 2 rodzaju wzorem

gdzie: – mimośród elipsy.

(Wartości parametrów którym odpowiadają katy ograniczające łuk elipsy, wynikają z równań parametrycznych elipsy.)

(b) Łuk elipsy o półosiach ograniczony kątami mierzonymi od osi do punktów początkowego i końcowego łuku elipsy, jest zadany przez całkę eliptyczną niezupełną 2 rodzaju wzorem

gdzie

Całka eliptyczna 3 rodzaju[edytuj | edytuj kod]

Długość łuku południka[edytuj | edytuj kod]

Długość łuku południka od równika do szerokości geograficznej jest określona wzorem:

gdzie jest główną osią elipsy, przechodzącej przez bieguny Ziemi, utworzonej z jej południków; jest mimośrodem tej elipsy.

Całki eliptyczne jako podklasa całek Abela[edytuj | edytuj kod]

Całki tego rodzaju, w których za zmienną podstawia się dowolną funkcję algebraiczną zmiennej taką że

gdzie jest wielomianem względem zmiennych i nazywa się czasem całkami Abela. Całki eliptyczne są więc podklasą całek Abela.

Funkcje odwrotne do całek eliptycznych[edytuj | edytuj kod]

Funkcje odwrotne do różnego typu całek eliptycznych noszą nazwę funkcji eliptycznych. Np. funkcja eliptyczna Weierstrassa zmiennej zespolonej o parametrach jest funkcją odwrotną do funkcji wyrażonej przez całkę

W szczególności funkcje odwrotne mają całki eliptyczne niezupełne Np. funkcjami odwrotnymi do funkcji eliptycznej funkcje amplitudy

Obliczenia numeryczne[edytuj | edytuj kod]

Poniżej podano kod programu w C++ liczącego całki eliptyczne zupełne 2-go rodzaju dla gdzie Zastosowano tu prostą metodę całkowania numerycznego – metodę trapezów. Pomimo prostoty uzyskuje się dowolnie duże dokładności, przy odpowiednio dobranej liczbie podziałów przedziału całkowania. Szybciej zbieżne metody numeryczne wykorzystują np. rozwinięcia funkcji podcałkowej w szeregi.

/* Liczenie całek eliptycznych 2 rodzaju E(k) */
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>

using namespace std;

double f(double t, double k)
{
return sqrt(1-k*k*sin(t)*sin(t));
}

int main()
{
   double t, h, trapez, pole, t1,t2, alfa, alfa_r, k, a, b;
   int m;

   for(int j=0;j<=90;j++)
   {
       alfa=j; //kąt w stopniach
       alfa_r = M_PI/180*alfa;
       k=sin(alfa_r);
       t1=0;        //wartość początkowa przedziału całkowania
       t2=M_PI/2;   //wartość końcowa przedziału całkowania
       m = 10000000;//Liczba podziałów przedziału całkowania
    
       pole = 0;
       h = (t2-t1)/m;
    
       t=t1;
       a=f(t,k);
       
       for(int i=1; i<=m; i++)
       {
           b=f(t+h,k);
           trapez = (a+b)*h/2;
           pole = pole + trapez;
           t=t+h;
           a=b;
       }
       cout << setprecision(7) << fixed;
       cout << " k="<<k<<"  alfa="<<alfa<<"'"<<"  całka E(k)=" << pole << endl;
    }
   return 0;
}

Obliczenia numeryczne całek eliptycznych niezupełnych

(1) W celu obliczenia całki niezupełnej 2-go rodzaju wystarczy w powyższym kodzie zmienić parametr t2 z wartości M_PI/2 (oznaczającego liczbę π/2) na odpowiednią wartość parametru (linia 24 kodu).

(2) W celu obliczenia całki niezupełnej 1-go rodzaju wystarczy zmienić wartość zwracaną przez funkcję na jej odwrotność (linia 10 kodu) oraz nadać wartość parametru (linia 24 kodu).

(3) W celu obliczenia całki niezupełnej 3-go rodzaju wystarczy zmienić wartość zwracaną przez funkcję zgodnie z definicją funkcji podcałkowej tej całki (linia 10 kodu), podstawiając dodatkowo wartość parametru oraz podstawić wartość parametru (linia 24 kodu).

Tabela wartości całek eliptycznych[edytuj | edytuj kod]

Uwaga: Tutaj

α° K(0) E(0)
1,5707963 1,5707963
Tabela wartości całek eliptycznych
α° K(k) E(k) α° K(k) E(k) α° K(k) E(k) α° K(k) E(k) α° K(k) E(k)
1,5709160 1,5706767 11° 1,5853942 1,5563998 21° 1,6252337 1,5190785 31° 1,6941144 1,4607735 41° 1,7992215 1,3848866
1,5712750 1,5703179 12° 1,5881972 1,5536809 22° 1,6307291 1,5141469 32° 1,7028359 1,4539078 42° 1,8121599 1,3765043
1,5718736 1,5697202 13° 1,5912544 1,5507320 23° 1,6365174 1,5090071 33° 1,7119247 1,4468692 43° 1,8256019 1,3679992
1,5727124 1,5688837 14° 1,5945683 1,5475546 24° 1,6426041 1,5036621 34° 1,7213908 1,4396621 44° 1,8395667 1,3593770
1,5737921 1,5678091 15° 1,5981420 1,5441505 25° 1,6489952 1,4981149 35° 1,7312452 1,4322910 45° 1,8540747 1,3506439
1,5751136 1,5664968 16° 1,6019785 1,5405216 26° 1,6556969 1,4923687 36° 1,7414992 1,4247603 46° 1,8691475 1,3418061
1,5766780 1,5649476 17° 1,6060813 1,5366698 27° 1,6627160 1,4864268 37° 1,7521652 1,4170749 47° 1,8848087 1,3328700
1,5784866 1,5631622 18° 1,6104542 1,5325973 28° 1,6700594 1,4802927 38° 1,7632562 1,4092397 48° 1,9010830 1,3238422
1,5805409 1,5611417 19° 1,6151009 1,5283063 29° 1,6777349 1,4739699 39° 1,7747859 1,4012598 49° 1,9179975 1,3147296
10° 1,5828428 1,5588872 20° 1,6200259 1,5237992 30° 1,6857504 1,4674622 40° 1,7867691 1,3931402 50° 1,9355811 1,3055391
cd. Tabela wartości całek eliptycznych
α° K(k) E(k) α° K(k) E(k) α° K(k) E(k) α° K(k) E(k)
51° 1,9538648 1,2962780 61° 2,1842132 1,2015382 71° 2,5507314 1,1096434 81° 3,2553029 1,0337895
52° 1,9728823 1,2869537 62° 2,2131947 1,1920457 72° 2,5998197 1,1010622 82° 3,3698680 1,0278436
53° 1,9926698 1,2775739 63° 2,2435493 1,1825891 73° 2,6521380 1,0926503 83° 3,5004225 1,0223126
54° 2,0132666 1,2681465 64° 2,2753764 1,1731794 74° 2,7080676 1,0844252 84° 3,6518560 1,0172369
55° 2,0347153 1,2586796 65° 2,3087868 1,1638280 75° 2,7680631 1,0764051 85° 3,8317420 1,0126635
56° 2,0570623 1,2491816 66° 2,3439047 1,1545467 76° 2,8326726 1,0686095 86° 4,0527582 1,0086480
57° 2,0803581 1,2396612 67° 2,3808702 1,1453479 77° 2,9025649 1,0610593 87° 4,3386540 1,0052586
58° 2,1046577 1,2301272 68° 2,4198417 1,1362444 78° 2,9785690 1,0537769 88° 4,7427173 1,0025841
59° 2,1300214 1,2205890 69° 2,4609995 1,1272496 79° 3,0617286 1,0467865 89° 5,4349098 1,0007516
60° 2,1565156 1,2110560 70° 2,5045501 1,1183777 80° 3,1533853 1,0401144 90° 1,0000000

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. funkcje eliptyczne, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-12-28].
  2. Królikowski i Rubinowicz 2012 ↓, s. 97.
  3. Królikowski i Rubinowicz 2012 ↓, s. 98.
  4. I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka – poradnik encyklopedyczny. Wyd. 2. Warszawa: PWN, 1968, s. 269.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny. Matematyka, PWN, Warszawa 1959, s. 92–93 (Tablice całek), s. 409–410 definicje całek.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]