Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny (dawniej postęp arytmetyczny) – ciąg liczbowy, w którym każdy wyraz jest sumą wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego oraz ustalonej liczby zwanej różnicą ciągu. Zwykle zakładamy, że wyrazy ciągu arytmetycznego są liczbami rzeczywistymi, choć można rozważać również ciągi arytmetyczne o wyrazach zespolonych.

Definicja formalna i przykłady

Ciąg liczbowy $(a_{n})$ nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeśli dla pewnej liczby $r$ (nazywanej różnicą ciągu) zachodzi

$(\forall n\in \mathbb {N} )\ (a_{n+1}=a_{n}+r).$

Równoważnie, $(a_{n})$ jest ciągiem arytmetycznym, jeśli

$(\forall n\in \mathbb {N} )\ (a_{n+1}-a_{n}=a_{n+2}-a_{n+1}).$

Przykłady

• ciąg 1, 3, 5, 7, 9, ... jest arytmetyczny o różnicy 2,
• ciąg 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, ... nie jest arytmetyczny ($3-1=2,$ ale $4-3=1$),
• dowolny ciąg stały jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 0.

Własności

• Ciąg arytmetyczny o różnicy $r$ ma następujący wzór ogólny:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)r.$

• Zatem aby wyznaczyć pierwszy wyraz $a_{1}$ ciągu arytmetycznego oraz jego różnicę $r$ wystarczy znać dwa wyrazy tego ciągu.
• Trzy liczby ustawione w danej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy środkowa jest średnią arytmetyczną dwóch skrajnych:

$a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}.$

• Ciąg arytmetyczny liczb rzeczywistych jest zawsze ciągiem monotonicznym – rosnącym, gdy różnica ciągu jest dodatnia, malejącym, gdy jest ujemna, lub stałym, gdy jest równa 0.

Suma skończonego ciągu arytmetycznego

Suma $S_{n}$ początkowych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa średniej arytmetycznej wyrazów pierwszego i $n$-tego pomnożona przez liczbę wyrazów $n$:

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}n={\frac {2a_{1}+(n-1)r}{2}}n.$

Formuła zbliżona do powyższej była podana w 1202 przez Leonarda z Pizy w jego dziele Liber abaci (rozdział II.12). Często jest powtarzana historia, według której Carl Friedrich Gauss miał odkryć formułę na sumę ciągu arytmetycznego w wieku siedmiu lat.

Dowód wzoru

Wyraźmy sumę $n$ pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego dwoma sposobami:

$S_{n}=a_{1}+(a_{1}+r)+(a_{1}+2r)+\ldots +(a_{1}+(n-2)r)+(a_{1}+(n-1)r)$   oraz

$S_{n}=(a_{1}+(n-1)r)+(a_{1}+(n-2)r)+\ldots +(a_{1}+2r)+(a_{1}+r)+a_{1}$

(gdzie po prawej stronie drugiego równania sumowane wyrazy ciągu wypisane są w odwrotnej kolejności).

Po dodaniu powyższych dwóch równań stronami otrzymamy

$2S_{n}={\Big (}a_{1}+(a_{1}+(n-1)r){\Big )}+{\Big (}(a_{1}+r)+(a_{1}+(n-2)r){\Big )}+\ldots +{\Big (}(a_{1}+(n-3)r)+(a_{1}+2r){\Big )}+{\Big (}(a_{1}+(n-2)r)+(a_{1}+r){\Big )}+{\Big (}(a_{1}+(n-1)r)+a_{1}{\Big )}$

a stąd

$2S_{n}={\Big (}2a_{1}+(n-1)r{\Big )}+{\Big (}2a_{1}+(n-1)r{\Big )}+\ldots +{\Big (}2a_{1}+(n-1)r{\Big )}+{\Big (}2a_{1}+(n-1)r{\Big )}+{\Big (}2a_{1}+(n-1)r{\Big )}$

i

$2S_{n}=n(2a_{1}+(n-1)r).$

Pamiętając, że $a_{n}=a_{1}+(n-1)r,$ powyższą równość możemy przekształcić do:

$S_{n}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)r]}{2}}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}.$

Związek ciągu arytmetycznego z funkcją liniową

Istnieje ścisły związek pomiędzy ciągiem arytmetycznym a funkcją liniową $y=ax+b.$ Jeżeli do wzoru funkcji liniowej będziemy podstawiać kolejne wartości argumentów $x$ różniące się o stałą wartość, np. o 1, to otrzymane w ten sposób wartości funkcji liniowej utworzą ciąg arytmetyczny. Jeżeli kolejne argumenty $x$ będą różnić się o 1, to wartości funkcji liniowej będą różnić się o wartość współczynnika kierunkowego $a.$

Dowód:

$f(x)=ax+b$

$f(x+1)=a(x+1)+b=ax+a+b$

$r=f(x+1)-f(x)=(ax+a+b)-(ax+b)=a.$

Jeżeli więc np. założymy, że dziedziną funkcji liniowej będzie zbiór liczb naturalnych dodatnich, to tak otrzymana funkcja będzie ciągiem arytmetycznym o różnicy równej współczynnikowi kierunkowemu prostej $(r=a).$

Czyli ciąg wartości funkcji liniowej $y=ax+b$ dla kolejnych naturalnych $x{:}$

$a_{1}=f(1)$

$a_{2}=f(2)$

$a_{3}=f(3)$

$\dots$

$a_{n}=f(n)$

będzie ciągiem arytmetycznym o wzorze ogólnym

$a_{n}=an+b.$

Korzystając z tej własności, można na podstawie wzorów ogólnych ciągów arytmetycznych określić ich różnicę, np.:

${\begin{array}{l}a_{n}=5n-3&(r=5)\\a_{n}=-2n+3&(r=-2)\\a_{n}=-n+4&(r=-1).\end{array}}$