Czas własny

(1) Pionowy odcinek $t$ reprezentuje czas jaki minął pomiędzy dwoma zdarzeniami czasoprzestrzennymi $E_{1}$ i $E_{2}$ mierzony przez obserwatora w układzie inercjalnym. (2) Czerwona krzywa między punktami $E_{1}$ i $E_{2}$ – to trajektoria w czasoprzestrzeni (linia świata) układu nieinercjalnego; jej tzw. pseudodługość jest wielkością niezmienniczą (skalarną) równa czasowi własnemu $\tau$, mierzonemu zegarem poruszającym się, pomnożonemu przez prędkość światła $c.$ Czas własny jest mniejszy niż czas t – mimo że długość krzywej w przestrzeni euklidesowej byłaby większa niż odcinek pionowy czasu t, to w przestrzeni Minkowskiego jest inaczej – bo jest to przestrzeń nieeuklidesowa.

Czas własny – czas $\tau$ wskazywany przez zegar poruszający się wraz z ciałem. Czas własny pomnożony przez prędkość światła jest równy długości linii świata ciała pomiędzy zdarzeniem włączenia zegara a jakimś zdarzeniem późniejszym. Linia świata jest krzywą, jaką kreśli w 4-wymiarowej czasoprzestrzeni poruszające się ciało. Ponieważ długość krzywej mierzona między dowolnymi punktami w czasoprzestrzeni jest niezmiennikiem przekształceń Lorentza (dokładniej: jest wielkością geometryczną czasoprzestrzeni generowanej przez grupę przekształceń Lorentza), to i czas własny jest niezmiennikiem.

(Dokładniej: grupa transformacji Lorentza generuje geometrię 4-wymiarową – wg ujęcia geometrii przez program erlangeński Kleina).

Pojęcie czasu własnego wprowadza szczególna teoria względności oraz ogólna teoria względności.

Związek między czasem własnym $\tau$ a czasem $t$

Jeżeli cząstka porusza się ruchem dowolnie zmiennym, to upływ czasu własnego $\tau$ będzie różnił się od upływu czasu $t,$ jaki zostanie zmierzony zegarami w układzie spoczynkowym, oddzielającym dwa zdarzenia $E_{1},E_{2}$ na linii świata cząstki (patrz rysunek).

Znajdziemy związek między tymi czasami.

Opis ruchu w układzie spoczynkowym

Niech cząstka porusza się w czasoprzestrzeni po trajektorii, którą w układzie nieruchomym opisuje wektor styczny

$x^{0}=x^{0}(t),\ x^{1}=x^{1}(t),\ x^{2}=x^{2}(t),\ x^{3}=x^{3}(t).$

Dwu punktom krzywej

$\mathbf {x} (t)=[x^{0}(t),x^{1}(t),x^{2}(t),x^{3}(t)]$

oraz

$\mathbf {x} (t+dt)=\mathbf {x} (t)+d\mathbf {x} (t)=\mathbf {x} (t)+[dx^{0}(t),dx^{1}(t),dx^{2}(t),dx^{3}(t)]$

związanym z upływem czasu $dt$ odpowiada różniczkowe przemieszczenie się cząstki w czasoprzestrzeni $ds$(zwane interwałem czasoprzestrzennym), takie że

$ds^{2}\equiv |d\mathbf {x} |^{2}=c^{2}dt^{2}-dx(t)^{2}-dy(t)^{2}-dz(t)^{2}.$

Opis ruchu w układzie poruszającym się

W szczególnej teorii względności postuluje się, że interwał jest niezmiennikiem, tj. jest wielkością geometryczną, a więc niezależną od tego w jakim układzie współrzędnych się ją wyraża. Dlatego w układzie poruszającym się interwał ten jest taki sam; wyraża go wzór

$ds^{2}=c^{2}d\tau ^{2}-(dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}),$

przy czym $d\tau$ – upływ czasu w układzie poruszającym się, oraz

$dx'=dy'=dz'=0,$

gdyż cząstka spoczywa w swoim układzie. Stąd dostaniemy

$ds=c\,d\tau .$

Ostatni wzór oznacza, że:

Różniczkowy upływ czasu własnego $d\tau$ danego ciała mnożony przez prędkość światła jest równy długości różniczkowej $ds$ linii świata tego ciała, kreślonej w czasoprzestrzeni.

Tym samym różniczka

$d\tau ={\frac {ds}{c}}$

jest również niezmiennikiem relatywistycznym podobnie jak interwał $ds.$

Związek między różniczkami czasu $d\tau$ a $dt$

Podstawiając do wzoru $d\tau ={\frac {ds}{c}}$ wyrażenie na interwał $ds$ wyrażony przez współrzędne w układzie spoczywającym

$ds(t)={\sqrt {c^{2}dt^{2}-(dx(t)^{2}+dy(t)^{2}+dz(t)^{2})}}$

otrzymamy

$d\tau ={\frac {\sqrt {c^{2}{\text{d}}t^{2}-(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})}}{c}}.$

Wyciągając $cdt$ przed nawias otrzymamy:

$d\tau ={\sqrt {1-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\right]}}dt,$

czyli

$d\tau ={\sqrt {1-{\frac {v(t)^{2}}{c^{2}}}}}dt.$

Ponieważ prędkość ciała jest zawsze mniejsza niż $c,$ to z powyższego wzoru wynika, iż:

Różniczkowy upływ czasu własnego $d\tau$ mierzony zegarem poruszającym się z ciałem podczas infinitezymalnego przemieszczenia się ciała w czasoprzestrzeni $ds$ jest zawsze mniejszy niż różniczkowy upływ czasu $dt$ mierzony w układzie spoczywającym, rejestrującym to przemieszczenie się ciała.

Związek między czasem $\tau$ a $t$

Całkowity czas własny, jaki upłynął pomiędzy zdarzeniami $E_{1}$ i $E_{2}$ obliczy się jako całkę

$\tau =\int d\tau =\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {1-{\frac {v(t)^{2}}{c^{2}}}}}dt,$

gdzie $t_{1},t_{2}$ – wskazania zegarów spoczywających, gdy zaszły zdarzenia $E_{1}$ i $E_{2}.$

Ostatecznie mamy wyrażenie na związek między upływem czasu $\tau$ w układzie poruszającym się:

$\tau =\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {dt}{\gamma (t)}},$

gdzie:

$\gamma (t)\equiv {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v(t)^{2}}{c^{2}}}}}}$ – czynnik Lorentza zależny od chwilowej prędkości układu poruszającego się.

Ponieważ $1/\gamma (t)$ jest zawsze mniejsze lub równe jedności, to:

Czas własny, upływający między dwoma zdarzeniami na linii świata danego ciała, jest zawsze mniejszy niż czas upływający między tymi dwoma zdarzeniami, zmierzony w układzie spoczywającym.

Gdy prędkość ciała poruszającego się jest stała, to $\gamma =const$ i otrzymamy prosty wzór na dylatację czasu w przypadku ruchu jednostajnego:

$\tau ={\frac {t}{\gamma }}.$

Czas własny w ogólnej teorii względności

Czas własny w ogólnej teorii względności definiuje się następująco: niech dana będzie rozmaitość pseudoriemannowska w której zdefiniowano lokalny układ współrzędnych krzywoliniowych $x^{\alpha },$ wyposażona w tensor metryczny $g_{\mu \nu }(x^{\alpha }).$ Cząstka porusza się po krzywej danej równanie parametrycznym $x^{\alpha }(\lambda ).$ Zależność czasu własnego $\tau$ między włączeniem zegara własnego cząstki, a dowolnym zdarzeniami późniejszym wzdłuż linii świata $P$ cząstki określa interwał

$\tau =\int _{P}\,d\tau =\int _{P}{\frac {1}{c}}{\sqrt {g_{\mu \nu }\;dx^{\mu }(\lambda )\;dx^{\nu }(\lambda )}}.$

Wyrażenie to jest niezmiennicze ze względu na zmianę układu współrzędnych. W płaskiej czasoprzestrzeni wyrażenie to redukuje się do wzoru podanego wyżej.

W układzie cząstki mamy 4-wektory położeń cząstki w chwilach $\tau$ oraz $\tau +d\tau$ odpowiednio $\mathbf {x} (\tau )=[x'^{0}(\tau ),0,0,0]$ oraz $\mathbf {x} (\tau +d\tau )=\mathbf {x} (\tau )+[dx'^{0}(\tau ),0,0,0].$

Stąd otrzymamy

$\tau =\int _{P}d\tau =\int _{P}{\frac {1}{c}}{\sqrt {g_{00}(\mathbf {x} )}}dx'^{0}.$

Wyrażenie to uogólnia wcześniej podany wzór na związek między czasem własnym a różniczką współrzędnej czasowej $dx'^{0}$ w układzie poruszającym się.

Zobacz też

• czasoprzestrzeń Minkowskiego
• czterowektor
• interwał czasoprzestrzenny
• rozmaitość pseudoriemannowska
• rozmaitość riemannowska
• wektor styczny
• zdarzenie czasoprzestrzenne

Bibliografia

• L.D. Landau, E.M. Lifszyc: Teoria pola, Warszawa: PWN, 2009.