Search results
Wykaż, że funkcja f(x) ={x2 − 3 dla x ≤ 1 1 3x − 7 3 dla x > 1 jest ciągła w punkcie x0 = 1. Rozwiązanie: Obliczamy granice jednostronne funkcji w punkcie x0 = 1: lim x→x−0 f(x) = lim x→1−(x2 − 3) = 12 − 3 = −2. oraz. limx→x+0 f(x) = limx→1+(1 3x − 7 3) = 1 3 − 7 3 = −2.
O ciągłości funkcji mówimy, tylko w punktach w których ta funkcja jest określona, tzn. tylko dla argumentów które należą do dziedziny funkcji. Popatrz na poniższe przykłady: Przykład 1. a) funkcja ciągła. b) funkcja , także jest funkcją ciągłą. ( Uwaga! argument , nie należy do dziedziny funkcji, nie jest ona tam określona.)
Funkcja ciągła – funkcja, którą intuicyjnie można scharakteryzować jako: lub jego podprzedziale ), której wykresem jest ciągła linia, tj. linia narysowana bez odrywania ołówka od papieru. Funkcja, która ma conajmniej jeden punkt nieciagłości nazywana jest nieciagłą [1].
Definicja. Funkcja f ( x) jest ciągła w przedziale domkniętym a; b , wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w przedziale ( a; b) oraz jest prawostronnie ciągła w punkcie x 0 = a i lewostronnie ciągła w punkcie x 0 = b. Ciągłość funkcji elementarnych. Twierdzenie o ciągłości funkcji elementarnych.
Zbadaj ciągłość funkcji: f (x) = {xsin(1 x) dlax ≠ 0 0 dlax = 0f (x) = { xsin(x1)0 dla x = 0 dla x = 0. nie jest ciągła w punkcie x0 = 0x0 = 0. Podaj przykład funkcji określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych, która jest nieciągła w punktach 1 i 2.
Funkcja jest złożeniem dwóch wielomianów (i ), więc jest funkcją ciągłą. Podobnie funkcja jest funkcją ciągłą bo powstała poprzez składanie innych funkcji ciągłych. Przykład: Wykażemy, że funkcja entier nie jest funkcją ciągłą. W tym celu pokażemy, że istnieją punkty, w których funkcja nie ma granicy.
Definicja Cauchy'ego. Funkcja f jest ciągła w punkcie x0 wtedy, i tylko wtedy, gdy. ∀ε>0∃δ>0∀x(|x −x0| < δ ⇒ |f(x) − f(x0)| < ε). Każdy punkt x0, w którym funkcja f jest ciągła nazywa się punktem ciągłości funkcji. Funkcja f (x) nazywa się funkcją nieciągłą, jeśli nie jest funkcją ciągłą, w co najmniej jednym punkcie swojej dziedziny.
