PREHISTORIA LICZBY

Początki liczenia.

Jak liczyli ludzie pierwotni? Dokładnie nie wiemy, ale przypuszczamy, że tak: "jeden, dwa, dużo". Zdarza się jeszcze gdzieniegdzie w naszych czasach, że niektóre "prymitywne" plemiona w ten sposób oceniają ilość posiadanych elementów. Podobnie, małe dziecko potrafi w pierwszej połowie drugiego roku życia rozróżnić jeden, dwa i "więcej" przedmiotów. (A pamiętajmy o tym, że różne etapy rozwoju ludzkości mają swe odbicie w rozwoju małego człowieka.)
Przychodzi jednak taki moment w naturalnym rozwoju (pojedynczego człowieka, ludzkości), kiedy dobrze jest umieć odróżnić dwa elementy od trzech, trzy od czterech, itd. Czyli pojawia się potrzeba liczenia, nie tylko do dwóch.
Wyobraźmy sobie pasterza pilnującego stada, który chce ocenić, czy wszystkie owce wróciły do zagrody. Pomyślmy o małym Jasiu, który chce sprawdzić, czy przypadkiem Krzyś nie dostał więcej cukierków niż on.
I tak w naszym umyśle pojawiają się wyobrażenia kolejnych liczb naturalnych. Zwróćmy uwagę na to, że takie pierwotne liczenie polega na kojarzeniu elementów dwóch zbiorów w pary:
"Jeden cukierek dla Jasia - jeden cukierek dla Krzysia;
drugi cukierek dla Jasia - drugi cukierek dla Krzysia", itd.
 Albo: "Do zagrody wróciło tyle owiec, ile bylo karbów na kiju pasterza."
Mówimy tu o aspekcie kardynalnym liczby naturalnej.
W tym ujęciu, jak najbardziej na miejscu będzie zaliczyć zero do liczb naturalnych.
"Zero - liczba cukierków na talerzu Jasia - łakomczucha."
Wydaje się jednak, że pierwotni ludzie nie musieli się zastanawiać nad problemem zera (Kto snułby rozważania o owcach, których nie ma?). Tak samo, nikt z naszych przodków nie myślał zapewne nad tym, że zbiór liczb naturalnych jest nieskończony.To, że my go tak postrzegamy, jest wynikiem naszych coraz doskonalszych zdolności abstrakcyjnego myślenia i rozumowania opartego na rekurencji.

Przecież "widać", że ten proces można przedłużać w nieskończoność.

Wróćmy jednak do początkowych liczb naturalnych: Jeden, dwa, trzy,...
Zauważono (spróbuj sam przeprowadzić taki eksperyment), że człowiek ma zdolność rozróżniania "jednym spojrzeniem" do czterech elementów. Nad zbiorami 5, 6, 7-elementowymi trzeba się już dłużej zastanowić i przeliczyć je. Taką zdolność "odczuwania" liczby nie większej niż cztery posiadają nawet niektóre zwierzęta. Przeczytaj anegdotę zamieszczoną na końcu tej strony!

Dlaczego system dziesiętny?

Proste! Dlatego, że mamy dziesięć palców u rąk. Najlepiej przecież kojarzyć elementy przeliczanego zbioru z palcami naszych rąk.
Jasiu, ile masz samochodzików?
Odpowiada Jaś.
Problem pojawia się wtedy, kiedy przeliczanych elementów jest więcej niż dziesięć. Pomysły na przeliczenie takich "dużych" zbiorów poszły w dwóch kierunkach.
Jedni włączyli palce u nogi, oczy, uszy, nos, itd. Można w ten sposób dojść
do 41, a jak się uprzeć, to nawet i dalej. Możliwości są jednak, jakby nie było - ograniczone.
Drugi sposób polega na tym, by dziesiątki łączyć w dziesiątki dziesiątek, czyli setki; te zaś w dziesiątki setek czyli tysiące, itd.
Co dostajemy? System dziesiętny. Liczba "dziesięć" pełni w nim rolę bazy.
W historii pojawiały się jeszcze inne systemy:

Jeśli kobieta na targu chce Ci sprzedać "kopę" jaj, to nie wyobrażaj sobie jakieś sterty (raczej niewykonalne). Kopa, to pięć tuzinów, czyli 60.

W dobie komputerów, coraz większego znaczenia nabiera system

Stop! Zaczynamy pisać o komputerach, a miało być o prehistorii liczby.

Powstanie znaków liczbowych.

Pierwsze znaki liczbowe, to karby na kawałku drewna, nacięcia na skale. Były prostymi pionowymi kreskami:

Tabela 1.


Taki zapis zaczyna być mało przejrzysty. Dość szybko to zauważono. Pojawiły się udoskonalenia. Kreski zaczęto grupować. Oto kilka przykładów zmodyfikowanych zapisów:

Tabela 2.

Zauważmy, że starożytne cyfry rzymskie niewiele się różnią od tych, które obecnie nazywamy "rzymskimi". A czy w ogóle dostrzegasz jakąś różnicę? Przyjrzyj się.

Niektóre sposoby zapisywania liczb były bardzo skomplikowane. Obejrzyjmy kilka z nich. Zobaczymy tu również "przestrzenne" znaki, będące glinianymi żetonami.

Tabela 3.

Szczególnie oryginalne, wydają się nam znaki Majów. Liczby symbolizowane są przez głowy ze zmiennymi elementami pozycyjnymi. Matematyka Majów służyła głównie do mierzenia czasu i precyzyjnego ustalania dat. (Kultura Majów osiągnęła niezwykle wysoki poziom wiedzy astronomicznej!). Głowy oznaczały poszczególne jednostki czasowe. Podstawową jednostką był jeden dzień.

Warto odnotować, że Majowie stosowali zero, podczas gdy Europa długo czekała na wprowadzenie tego znaku (napiszemy o tym na następnych stronach).

Mówimy o przeróżnych zapisach cyfrowych, ale skąd wzięły się cyfry stosowane współcześnie? Nazywamy je cyframi arabskimi, więc pewnie wymyślili je Arabowie...Niezupełne. Tak naprawdę, to cyfry te, pierwsi zaczęli stosować Hindusi. Matematyka arabska w dużej mierze bazowała na osiągnięciach kultur krajów podbitych (był to wiek VII i VIII - czasy wielkiej ekspansji islamu). W X wieku cyfry indyjskie dotarły wraz z Arabami do Europy, ale od początku Europejczycy nazywali je arabskimi. I tak już zostało.

Zapamiętaj

Anegdota Zadanie